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吴波.一个有趣的平面N点组的构造[J].中学数学教学,2022(05):78-79.

Abstract：用初等数论的知识证明了：对任意正整数n(n≥3)，在平面上存在n个点，其中任两点之间的距离均为有理数，且任三点不共线，而以其中任意三点为顶点的三角形的面积均为无理数．

重心坐标的推广

蓋理論(Theory of Majorization)及其在不等式上的應用 (HTML | PDF)
Muirhead 不等式 (HTML | PDF)

伯克霍夫定理、凸包、雙重隨機矩陣、羅倫斯曲線、蓋、舒爾凸函數、舒爾準則、Karamata 不等式、相異代表系。

对于正整数n,设φ(n)是Euler函数.这是一类基本而又重要的数论函数,它的各种基本性质一直是数论中引人关注的课题^[1].1922年,Carmichael^[2]曾经猜测:对于给定的偶数2t,如果方程$$\begin{array}{lcr}\text{(1)}& \phi (x)=2t,\hspace{1em}x\in \mathbb{N}& \text{(1)}\end{array}$$有解x,则它至少有2个解.这是一个迄今远未解决的难题.本文证实了Carmichael猜想在是奇数时是正确的,并且对此情况完整地解决了方程$\text{(1)}$的求解问题,即证明了:

定理  当t是奇数时,如果t=1,则方程$\text{(1)}$有3个解x=3,4,6;如果t>1,则方程$\text{(1)}$有解的充要条件是存在奇素数p和正整数a,可使$$\begin{array}{lcr}\text{(2)}& 2t=p^{a-1}(p-1)& \text{(2)}\end{array}$$当此条件成立时,如果2t+1不是素数,则方程$\text{(1)}$有两个解:$x=p^a,2p^a$;如果2t+1是素数,则方程$\text{(1)}$有4个解:$x=p^a,2p^a,2t+1,2(2t+1)$.

含量词的公式(∃y)[x²+y²-3=0∧x+y>0]的意思是：存在实数y，使得x²+y²-3=0和x+y>0同时成立。如果将量词从公式中消去，那么可以得到一个等价的无量词公式x²-3≤0∧[x≥0∨2x²-3<0]。这个公式比原来的公式简单而且明确很多。又譬如，哥德巴赫猜想断言：对任意大于2的偶数，存在两个奇素数，其和为给定正偶数。这个断言也可以用含有量词的公式来加以表述。几年前刚刚证明的Fermat大定理指出：对任意大于2的整数n，不存在正整数x,y,z，使得等式xⁿ+yⁿ=zⁿ成立。这个命题同样可以用含量词的公式加以表示。如果能消去上述两个命题中的全称和存在量词，即可得到等价的永真命题，因而也就给出了命题的证明。

对数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$,记$S_k=\sum _{i=1}^k{a}_i,k=1,2,\cdots ,n,S_0=0,$则有$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=S_n{b}_n+\sum _{k=1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$.

Abel’s Test | Abel’s Test, Uniform Version

This note is an exposition of Abel’s test on convergence of series.

Theorem 1. Suppose $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converges and that {a_n} is a monotone bounded sequence. Then $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ converges.

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A Gröbner basis is a set of multivariate polynomials that has desirable algorithmic properties. Every set of polynomials can be transformed into a Gröbner basis. This process generalizes three familiar techniques: Gaussian elimination for solving linear systems of equations, the Euclidean algorithm for computing the greatest common divisor of two univariate polynomials, and the Simplex Algorithm for linear programming; see [3]. For example, the input for Gaussian elimination is a collection of linear forms such as $ℱ=\{2x+3y+4z-5,3x+4y+5z-2\}$ and the algorithm transforms $ℱ$ into the Gröbner basis $𝒢=\{\underset{\_}{x}-z+14,\underset{\_}{y}+2z-11\}$.