∫cos(2x)sec(3x) integral Jan 15, 2020 方法1.方法2. Mathematica WolframAlpha["Integrate[Cos[2x]Sec[3x],x]", "PodCells", PodStates -> {"IndefiniteIntegral__Step-by-step solution"}][[2]] Take the integral: ∫ cos ( 2 x ) sec ( 3 x ) d x Write cos ( 2 x ) sec ( 3 x ) as cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) − sin 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) : = ∫ ( cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) − sin 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) ) d x Integrate the sum term by term and factor out constants: = − ∫ sin 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x Multiply numerator and denominator of sin 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) by − cot ( x ) csc 3 ( x ) : = − ∫ − cot ( x ) csc ( x ) 3 cot 2 ( x ) − cot 4 ( x ) d x + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x Prepare to substitute u = csc ( x ) . Rewrite − cot ( x ) csc ( x ) 3 cot 2 ( x ) − cot 4 ( x ) using cot 2 ( x ) = csc 2 ( x ) − 1 : = − ∫ − cot ( x ) csc ( x ) − 4 + 5 csc 2 ( x ) − csc 4 ( x ) d x + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x For the integrand − cot ( x ) csc ( x ) − 4 + 5 csc 2 ( x ) − csc 4 ( x ) , substitute u = csc ( x ) and d u = − cot ( x ) csc ( x ) d x : = − ∫ 1 − u 4 + 5 u 2 − 4 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x For the integrand 1 − u 4 + 5 u 2 − 4 , use partial fractions: = − ∫ ( 1 6 ( u − 1 ) − 1 6 ( u + 1 ) + 1 12 ( u + 2 ) − 1 12 ( u − 2 ) ) d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x Integrate the sum term by term and factor out constants: = − 1 12 ∫ 1 u + 2 d u + 1 6 ∫ 1 u + 1 d u − 1 6 ∫ 1 u − 1 d u + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x For the integrand 1 u + 2 , substitute s = u + 2 and d s = d u : = − 1 12 ∫ 1 s d s + 1 6 ∫ 1 u + 1 d u − 1 6 ∫ 1 u − 1 d u + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x The integral of 1 s is log ( s ) : = − log ( s ) 12 + 1 6 ∫ 1 u + 1 d u − 1 6 ∫ 1 u − 1 d u + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x For the integrand 1 u + 1 , substitute p = u + 1 and d p = d u : = − log ( s ) 12 + 1 6 ∫ 1 p d p − 1 6 ∫ 1 u − 1 d u + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x The integral of 1 p is log ( p ) : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 − 1 6 ∫ 1 u − 1 d u + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x For the integrand 1 u − 1 , substitute w = u − 1 and d w = d u : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 − 1 6 ∫ 1 w d w + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x The integral of 1 w is log ( w ) : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 − log ( w ) 6 + 1 12 ∫ 1 u − 2 d u + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x For the integrand 1 u − 2 , substitute v = u − 2 and d v = d u : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 − log ( w ) 6 + 1 12 ∫ 1 v d v + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x The integral of 1 v is log ( v ) : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + ∫ cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) d x Multiply numerator and denominator of cos 2 ( x ) cos 3 ( x ) − 3 sin 2 ( x ) cos ( x ) by − csc 2 ( x ) sec ( x ) : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + ∫ − cot ( x ) csc ( x ) 3 − cot 2 ( x ) d x Prepare to substitute z 1 = csc ( x ) . Rewrite − cot ( x ) csc ( x ) 3 − cot 2 ( x ) using cot 2 ( x ) = csc 2 ( x ) − 1 : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + ∫ − cot ( x ) csc ( x ) 4 − csc 2 ( x ) d x For the integrand − cot ( x ) csc ( x ) 4 − csc 2 ( x ) , substitute z 1 = csc ( x ) and d z 1 = − cot ( x ) csc ( x ) d x : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + ∫ 1 4 − z 1 2 d z 1 Factor 4 from the denominator: = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + ∫ 1 4 ( 1 − z 1 2 4 ) d z 1 Factor out constants: = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + 1 4 ∫ 1 1 − z 1 2 4 d z 1 For the integrand 1 1 − z 1 2 4 , substitute z 2 = z 1 2 and d z 2 = 1 2 d z 1 : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + 1 2 ∫ 1 1 − z 2 2 d z 2 The integral of 1 1 − z 2 2 is tanh − 1 ( z 2 ) : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + 1 2 tanh − 1 ( z 2 ) + constant Substitute back for z 2 = z 1 2 : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + 1 2 tanh − 1 ( z 1 2 ) + constant Substitute back for z 1 = csc ( x ) : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + log ( v ) 12 − log ( w ) 6 + 1 2 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + constant Substitute back for v = u − 2 : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + 1 12 log ( u − 2 ) − log ( w ) 6 + 1 2 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + constant Substitute back for w = u − 1 : = log ( p ) 6 − log ( s ) 12 + 1 12 log ( u − 2 ) − 1 6 log ( u − 1 ) + 1 2 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + constant Substitute back for p = u + 1 : = − log ( s ) 12 + 1 12 log ( u − 2 ) − 1 6 log ( u − 1 ) + 1 6 log ( u + 1 ) + 1 2 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + constant Substitute back for s = u + 2 : = 1 12 log ( u − 2 ) − 1 6 log ( u − 1 ) + 1 6 log ( u + 1 ) − 1 12 log ( u + 2 ) + 1 2 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + constant Substitute back for u = csc ( x ) : = 1 12 log ( csc ( x ) − 2 ) − 1 6 log ( csc ( x ) − 1 ) + 1 6 log ( csc ( x ) + 1 ) − 1 12 log ( csc ( x ) + 2 ) + 1 2 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + constant Factor the answer a different way: = 1 12 ( log ( csc ( x ) − 2 ) − 2 log ( csc ( x ) − 1 ) + 2 log ( csc ( x ) + 1 ) − log ( csc ( x ) + 2 ) + 6 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) ) + constant An alternative form of the integral is: = 1 12 ( log ( csc ( x ) − 2 csc ( x ) + 2 ) + 6 coth − 1 ( 2 sin ( x ) ) + 4 coth − 1 ( csc ( x ) ) ) + constant 方法3. 使用欧拉公式,.作代换. . 所以. 如果利用恒等式化简的话,应该会得出,和上面的结果是相等的. PREVIOUSRectangle from incenters of cyclic quadrilateralNEXTChord diagram