Φ(x)=2t

对于正整数n,设φ(n)是Euler函数.这是一类基本而又重要的数论函数,它的各种基本性质一直是数论中引人关注的课题^[1].1922年,Carmichael^[2]曾经猜测:对于给定的偶数2t,如果方程$$\begin{array}{lcr}\text{(1)}& \phi (x)=2t,\hspace{1em}x\in \mathbb{N}& \text{(1)}\end{array}$$有解x,则它至少有2个解.这是一个迄今远未解决的难题.本文证实了Carmichael猜想在是奇数时是正确的,并且对此情况完整地解决了方程$\text{(1)}$的求解问题,即证明了:

定理  当t是奇数时,如果t=1,则方程$\text{(1)}$有3个解x=3,4,6;如果t>1,则方程$\text{(1)}$有解的充要条件是存在奇素数p和正整数a,可使$$\begin{array}{lcr}\text{(2)}& 2t=p^{a-1}(p-1)& \text{(2)}\end{array}$$当此条件成立时,如果2t+1不是素数,则方程$\text{(1)}$有两个解:$x=p^a,2p^a$;如果2t+1是素数,则方程$\text{(1)}$有4个解:$x=p^a,2p^a,2t+1,2(2t+1)$.

证  当t=1时,定理显然成立,以下仅需考虑t>1的情况.设x=n是方程$\text{(1)}$的解.设$$\begin{array}{lcr}\text{(3)}& n=2^{s}m,& \text{(3)}\end{array}$$其中s是非负整数,m是奇数.由于从文献[3]第6.4节可知 Euler 函数φ(n)是积性函数,所以,从式$\text{(3)}$可知:当s=3时,从方程$\text{(1)}$可得$$\begin{array}{lcr}\text{(4)}& \phi (n)=\phi \left(2^t\right)\phi (m)=2^{t-1}\phi (m)=2t& \text{(4)}\end{array}$$这一矛盾,故必有s≤2.同样,当s=2时,从式$\text{(4)}$可知m=1且t=1.因此,当t>1时,必有s=0或1.同时,因为φ(2)=1,所以,方程$\text{(1)}$有解$x=2m$的充要条件是它有解$x=m$.
如果方程$\text{(1)}$有解$x=m$,则必有m>1.设$$\begin{array}{lcr}\text{(5)}& m=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}& \text{(5)}\end{array}$$是m的标准分解式,其中$p_1,p_2,\cdots ,p_n$,是适合$p_1<p_2<\dots <p_n$的奇素数,$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是适当的正整数.由于当r>1时,$\phi (m)$必为4的倍数,故不可能.因此必有r=1.设$p=p_1,a=a_1$.因为$$\begin{array}{lcr}\text{(6)}& \phi (m)=p^{a-1}(p-1)& \text{(6)}\end{array}$$所以,方程$\text{(1)}$有解$x=m$的充要条件是适合式$\text{(2)}$,而且当此条件满足时,方程$\text{(1)}$至少有2个解$x=p^a$和$2p^a$.
如果方程$\text{(1)}$另有1个解$x=k$,其中k是适合k≠m的奇数,则从上节的分析可知,k必为奇素数的方幂,故有$k=q^b$,其中q是奇素数,b是正整数.由于$\phi (k)=q^{b-1}(q-1)$,故从方程$\text{(1)}$和$\text{(2)}$可得$$\begin{array}{lcr}\text{(7)}& q^{b-1}(q-1)=2t=p^{a-1}(p-1)& \text{(7)}\end{array}$$因为k≠m,故从式$\text{(7)}$可知p≠q.因此,从式$\text{(7)}$可知$$\begin{array}{lcr}\text{(8)}& p\equiv 1(mod{q}^{b-1})& \text{(8)}\end{array}$$$$\begin{array}{lcr}\text{(9)}& q\equiv 1(mod{p}^{a-1})& \text{(9)}\end{array}$$由于p≠q,故从式$\text{(7)}$可知a和b不能都等于1,所以不妨假定a>1.此时从式$\text{(9)}$知p<q,并且从式$\text{(8)}$可得b=1.于是,从式$\text{(7)}$可知2t+1=q是奇素数.因为当t给定时,2t+1是唯一的.因此,当2t+1不是奇素数时,方程$\text{(1)}$仅有2个解:x=q^a和2p^a;当2t+1是奇素数时,方程$\text{(1)}$恰有4个解:x=q^a,2p^a,2t+1和2(2t+1).证毕.

---

参考文献
[1] Guy RK.Unsolved problems in number theory [M].New York:Springer Verlag, 1981.
[2] Carmichael RD. Note on Euler’s function [J].Bull Amer Math Soc, 1922, 28:109-110.
[3] 华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社, 1979.